Розділ 3. Розв’язування прямокутних трикутників » 19.46

(Задача Архімеда.) Якщо в колі хорди AB і CD перетинаються в точці E під прямим кутом, то сума квадратів відрізків AE, BE, CE і DE дорівнює квадрату діаметра. Доведіть це. 1) Позначимо AE = a; EB = b; CE = с; ED = d. Необхідно довести, що а2 + b2 + с2 + d2 = (2R)2 = 4R2, де R — радіус кола. 2) Позначимо AD = x; BC = у. Тоді у ∆AED: а2 + d2 = х2, а у ∆CEB: b2 + с2 = у2. Отже, а2 + b2 + c2 + d2 = x2 + у2. (1) 3) Проведемо AK ∥ CD. Тоді ADCK — трапеція. Оскільки ця трапеція вписана у коло, то вона є рівнобічною і CK = AD = х. 4) Оскільки ∠KAB = 90°, то KB — діаметр кола. 5) Тому ∠KCB = 90°, у ∆СКВ: х2 + у2 = KB2 = (2R)2 = 4R2. 6) Враховуючи рівність (1), маємо а2 + b2 + c2 + d2 = 4R2, що й треба було довести.