Розділ 3. Розв’язування прямокутних трикутників » 19.38

Гострий кут паралелограма дорівнює 45°. Діагональ ділить тупий кут у відношенні 1 : 2. Знайдіть цю діагональ, якщо периметр паралелограма дорівнює 20 см. ∠A = 45°; ∠ABC = 180° – 45° = 135°. І випадок. 1) ∠ABD : ∠DBC = 1 : 2. Позначимо ∠ABD = х; ∠DBC = 2х. Тоді 2х + х = 135°; Зх = 135°; х = 45°. ∠ABD = 45°. 2) ∆ABD — рівнобедрений. Позначимо AD = BD = у. Тоді AB = √(у^2+ у^2 ) = у√2. 3) PABCD = 2(AB + AD); 2(AB + AD) = 20; y + y√2 = 10; y(1 + √2) = 10; y = 10/(1+ √2) = (10(√2- 1))/((√2+ 1)(√2- 1)) = (10(√2- 1))/1 = 10(√2 – 1) (см). II випадок. 1) ∠DBC : ∠ABD = 1 : 2. Тоді ∠ABD = 90°. 2) У ∆АВD: ∠BDA = 45; ∆ABD — рівнобедрений. 3) Позначимо AB = BD = t, тоді AD = = √(t^2+ t^2 ) = t√2. 4) PABCD = 2(AB + AD) = t + t√2 = 10; t = 10(√2 – 1) (см). Відповідь: 10(√2 – 1) см для обох випадків.