Вправи 1001 - 1100 » 1066

1066. Прямокутний трикутник з катетами а і b наклали на рівний йому трикутник так, що їх спільною частиною виявився найбільший квадрат. Знайди площу цього квадрата (мал. 19.15). ∆ACB — прямокутний, ВС = а, АС = b. KLMC — квадрат, нехай KL = x, тоді AK = b – х, MB = а – х. Оскільки S∆BCA = S∆AKL + SKLMC + S∆LBM, то ab/2 = (x(b- x))/2 + x2 + (x•(a-x))/2. Розв’яжемо рівняння: ab = хb – х2 + 2х2 + ха – х2, ab = xb + xa; ab = x(a + b); х = ab/(a+b). SKLMC = x2 = (a^2 b^2)/〖(a+ b)〗^2 . Відповідь: (a^2 b^2)/〖(a+ b)〗^2 .