Вправи 1001 - 1100 » 1015

1015. Радіус вписаного у прямокутний трикутник кола позначено через r, а половину периметра трикутника — через р. Визнач гіпотенузу. ∆ABC — даний трикутник, у якого ∠C = 90°, O — центр кола, вписаного в ∆ABC. OK = r — радіус кола. (AC+CB+AB)/2 = P. M, К, P — точки дотику кола до сторін AC, CB, AB. OM = OP = ОK (як радіуси одного кола). OM ⊥ AC, OK ⊥ CB, OP ⊥ AB, ∆OMA, ∆OPA, ∆OKB, ∆OPB — прямокутники. ∆ОМА = ∆OPA (OM = OP; AO — спільна гіпотенуза). Звідси AM = AP. ∆ОКВ = ∆ОРВ (OK = OP; OB — спільна гіпотенуза). Звідси KB = PB. Нехай AM = х, тоді AP = x; KB = у, тоді PB = у. AC = х + r, СВ = у + r; АВ = х + у. Так як периметр ∆ABC дорівнює Р, то (x+r+y+r+x+y)/2 = P; (2(x+y+r))/2 = P. х + у + r = P, так як AB = х + у, то AB + r = P, тоді AB = P – r.