Вправи 1001 - 1100 » 1016

1016. В опуклий шестикутник, усі сторони якого дорівнюють а і кути рівні, вписано коло, а в це коло вписано квадрат. Знайди довжину сторони квадрата. ACBDMP — даний шестикутник, у якого AB = BC = CD = DM = MP = PA = а, O — центр кола, вписаного в шестикутник. KZNE — квадрат, вписаний в це коло. Розглянемо ∆BOC : ∠BOC = 60°; BO = OC (як радіуси одного кола). Отже ∆BOC рівнобедрений. Тому ∠OBC = ∠OCB = (1800 – 60°) : 2 = 60°. Звідси маємо: ∆BOC рівносторонній. BC = а : OC = а. OK ⊥ BC. (K — точка дотику кола до сторони BC). ∆KOC — прямокутний. K — середина BC. ∆KOC — прямокутний. KC = a/2 : OC = а. За теоремою Піфагора: OK = √(a^2- (a/2 )^2 ) = (a√3)/2. OK — радіус кола. KZNE — квадрат, вписаний в коло. Розглянемо ∆KOZ — прямокутний (діагоналі квадрата перпендикулярні) KO = OZ = r = (a√3)/2. За теоремою Піфагора: KZ = √(((a√3)/2 )^2+((a√3)/2 )^2 ) = √(〖3a〗^2/4+〖3a〗^2/4) = √(〖6a〗^2/4) = 1/2 a√6.