Вправи 1001 - 1100 » 1065

1065. Площа квадрата, побудованого на діагоналі прямокутника, удвічі більша за площу цього прямокутника. Доведи, що сторони прямокутника рівні. ABCD — прямокутник, AC — діагональ, AC — сторона квадрата AKPC. S_AKPC/S_ABCD = 2. Треба довести, що AB = BC. Нехай AB = x см; BC = у см, тоді з ∆ABC: AC2 = AB2 + BC2 = x2 + у2. Але AC — сторона квадрата, тому SAKPC = AC2 = х2 + у2. SABCD = х • у. За умовою: х2 + у2 = 2ху; x2 – 2xy + y2 = 0, (x – y)2 = 0. Звідси x – y = 0, х = у, тобто AB = BC.