Вправи 1001 - 1100 » 1011

1011. Сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 10 см, 10 см і 12 см. Знайди: а) радіус кола, вписаного в трикутник; б) радіус кола, описаного навколо трикутника. ABC — даний трикутник, у якого AB = BC = 10 см; AC = 12 см. O — центр вписаного кола в ∆ABC. BK — висота, медіана, бісектриса трикутника. O лежить на BK. OK = OM = OP = r. ∆АОК = ∆АОМ (вони прямокутні AO — спільна гіпотенуза; OK = OM = r — катети), тому AK = AM. Оскільки K — середина AC, то AK = 6 см, отже AM = 6 см, а MB = 10 – 6 = 4 (см). ∆ABK — прямокутний. AB = 10 см, AK = 6 см. За теоремою Піфагора BK = √(10^2- 6^2 ) = √64 = 8 (см). Якщо OK = r, то BO = 8 – r (см). Розглянемо прямокутний ∆OMB: OM = r; MB = 4, OB = 8 – r. За теоремою Піфагора: (8 – r)2 = r2 + 42, 64 – 16r + r2 = r2 + 16, –16r = –48, r = 3. Отже, радіус вписаного кола r = 3 (см). Аналогічно знайдемо R — радіус описаного кола. AK = 6 см; BK = 8 см. Нехай O — центр описаного кола, OA = OB = OC = R. O лежить на BK (висота ∆ABC). OB = R, тому OK = BK – OB = 8 – R. ∆AOK — прямокутний, у якому OA = R — гіпотенуза. AK = 6 : OK = 8 – R — катети. За теоремою Піфагора: AO2 = AK2 + OK2. R2 = 62 + (8 – R)2, R2 = 36 + 64 – 16R + R2, 16R = 100. R = 100/16, R = 6,25 (см). Відповідь: r = 3 см; R = 6,25 см.