Вправи 1001 - 1100 » 1062

1062. Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, середня лінія дорівнює m. Знайди площу чотирикутника, вершинами якого є середини сторін трапеції. ABCD — рівнобічна трапеція. BD ⊥ AC. (BC+ AD)/2 = m – середня лінія. М, N, Р, K — середини сторін AB, BC, CD, DA. MN — середня лінія ∆ABC, MN ∥ AC. KP — середня лінія ∆ACD, KP ∥ AC, тоді MN ∥ KP. NP — середня лінія ∆BCD, NP ∥ BD. MK — середня лінія ∆BAD, MK ∥ BD, тоді MK ∥ NP. MN ∥ AC, NP ∥ BD, AC ∥ BD. MN ⊥ NP, отже MNPK — прямокутник. Оскільки ABCD — рівнобічна, то BD = AC, тому MN = NP, отже, MNPK — квадрат. MP — середня лінія трапеції ABCD; MP = m. MP — діагональ квадрата MNPK. x — сторона квадрата. З ∆MNP за теоремою Піфагора: x2 + x2 = m2, 2х2 = m2, x2 = m^2/2. SMNPK = x2 = m^2/2. Відповідь: SMNPK = x2 = m^2/2.