Вправи 301 - 454 » 405

405. Доведи, що точка перетину діагоналей квадрата є центром кола, вписаного у квадрат. Дано: ABCD – описаний квадрат; AB, BD – діагоналі. Довести: О – центр вписаного кола. Доведення За властивістю квадрата: AO = OC = BO = OD. B ∆BOA і ∆AOD: 1) BO = DO; 2) AB = AD; 3) ОА – спільна, тоді ∆BOA = ∆AOD за трьома сторонами. Тоді ОК = ОМ як висоти рівниї трикутників. Аналогічно доводится, що ОР = ОМ. Точка О знаходиться на однаковій відстані від усіх сторін квадрата. Тому О – центр вписаного кола.