РОЗДІЛ 5. Многокутники. Площі многокутників » 1260

1260. У трикутнику через точку перетину медіан проведено три відрізки, кожний з яких паралельний одній зі сторін трикутника. До­ ведіть, що три утворені трапеції, які складають трикутник, мають рівні площі. Дано: ∆АВС, М – точка перетину медіан; TK ∥ AC; PS ∥ BC; LN ∥ AB. Довести: SABNL = SPBCS = SATKC. Доведення TK ∥ AC, тоді ∆ТВК ~ ∆АВС. Відношення висот цих трикутників, проведених до паралельних сторін, дорівнює відношенню, в якому медіана ВЕ ділиться точкою М. ВМ = 2/3ВЕ, тоді hм.тр. = 2/3hб.тр. STBK = (2/3)2 • SABC = 4/9SABC. SATKC = SABC – STBK = SABC – 4/9SABC = 5/9SABC. Аналогічно, для відрізків, паралельним сторонам AB і BC, утворюються трапеції, площі яких становлять 5/9 SABC. Отже, SABNL = SPBCS = SATKC.