РОЗДІЛ 5. Многокутники. Площі многокутників » 1259

1259. Якщо у трапеції середину бічної сторони з’єднати відрізками з кінцями іншої бічної сторони, то утворений трикутник має площу, вдвічі меншу від площі трапеції. Доведіть. Нехай дано трапецію ABCD. М — середина сторони AB. Проведемо PK ⊥ AD; PK ⊥ DC; S∆MBC = 1/2PM • BC; S∆AMD = 1/2MK • AD; S∆MBC + S∆AMD = 1/2PM • BC + 1/2MK • AD = 1/2 • 1/2h • BC + 1/2 • 1/2h • AD = 1/4h(BC + AD); Sтр. = 1/2h(BC + AD); S∆MCD = Sтр. – (S∆MBC + S∆AMD) = 1/2h(BC + AD) – 1/4h(BC + AD) = 1/4h(BC + AD), що й треба було довести.