РОЗДІЛ 5. Многокутники. Площі многокутників » 1258

1258. У трапеції із взаємно перпендикулярними діагоналями відрізок, що сполучає середини основ, дорівнює середній лінії трапеції. Доведіть. Нехай дано трапецію ABCD, BD ⊥ AC; MK — відрізок, що сполучає середини основ. PN — середня лінія трапеції. Доведемо, що МК = PN. ∆ВОС — прямокутний, МО — медіана; ВМ = МС = МО; МО = 1/2ВС. ∆AOD — прямокутний; OK = AK = KD; OK = 1/2AD; MO + OK = 1/2(BC + AD); MK = 1/2(BC + AD); PN = 1/2(BC + AD). Отже, MK = PN, що й треба було довести.