Задачі підвищеної складності » 5

Діагоналі опуклого чотирикутника розбивають його на чотири трикутники, периметри яких однакові. Визначте вид чотирикутника. 1) Нехай ABCD — даний чотирикутник, точка O — точка перетину діагоналей. Доведемо спочатку, що AO = ОС, BO = OD. 2) Припустимо, що це не так. Тоді можливі два випадки. І випадок. Точка O — середина однієї з діагоналей (наприклад, AC) і не є серединою іншої. Нехай для визначення BO < OD. Позначимо на OD точку B1 таку, що OB1 = OB. Розглянемо ∆OB1C. Оскільки ∆ABO = ∆CB1O (за першою ознакою), то AB = CB1. За умовою PABO = PCDO, або AB + AO + OA = OB1 + B1D + DC + CO. Враховуючи, що маємо AB = B1D + DC або CB1 = B1D + DC, що суперечить нерівності трикутника. II випадок. Точка O не є серединою жодної із діагоналей. Нехай для визначення AO < ОС, BO < OD. Позначимо точки A1 і B1 на відрізках OL і OD так, що OA1 = OA і OB1 = OB. Розглянемо ∆OB1C. Оскільки ∆ABO = ∆CB1O (за першою ознакою), то AB = CB1. ∆AOB = ∆A1OB1 (за першою ознакою), тому AB = A1B1. За умовою PABO = PCDO, aбо AB + AO + OB = OB1 + B1D + DC + CA1 + A1O. Враховуючи, що OA1 = OA і OB1 = OB, маємо AB = B1D + DC + CA1, або A1B1 = B1D + DC + CA1, що можливо лише, якщо A1, С, В і D лежать на одній прямій. 3) Отже, довели, що AO = ОС; BO = OD, а тому ABCD — паралелограм. 4) PАОВ = РСОВ, але AO = CO, тому AB = BC. Тому ABCD є ромбом. Відповідь: Ромб.