Задачі підвищеної складності » 25

Точка M лежить усередині кута, який дорівнює 60°. Відстані від точки M до сторін куса дорівнюють а і b. Знайдіть відстань від точки M до вершини кута. 1) Нехай AM перетинає OB у точці С. 2) ∠ACO = 90° – 60° = 30°. 3) У ∆MBC за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо MC = 2b; AC = а + 2b. 4) У ∆OAC: tg∠ACO = OA/AC; tg30° = OA/(a+2b); OA = (a+2b)/√3. 5) У ∆ОАМ: ОМ= √(〖ОА〗^2+ 〖АМ〗^2 ) = √(((a+2b)/√3 )^2+ a^2 ) = √((4(a^2+ ab+ b^2))/3) = 2√((a^2+ ab+ b^2)/3). Відповідь: 2√((a^2+ ab+ b^2)/3).