Задачі підвищеної складності » 28

У прямокутний трикутник вписано коло. Точка дотику ділить гіпотенузу у відношенні 2 : 3. Знайдіть периметр трикутника, якщо центр вписаного кола знаходиться на відстані m√2 від вершини прямого кута. 1) О — центр вписаного кола; CO = m√2. М, К, L — точки дотику. 2) Оскільки MOLC — квадрат, сторона якого дорівнює r, то r2 + r2 = (m√2)2; 2r2 = 2m2; r = m. 3) АК : KВ = 2 : 3. Позначимо AK = 2х, KB = Зх. Тоді AB = 5х. 4) За властивістю відрізків дотичних AM = AK = 2х; BL = BK = Зх. Тоді AC = m + 2х; BC = m + Зх. 5) AB2 = AC2 + CD2; (5х)2 = (m + 2х)2 + (m + Зх)2; 25х2 = 9x2 + 6хm + m2 + 4x2 + 4хm + m2; 6х2 – 5mх – m2 = 0; D = (–5m)2 – 4 • 6 • (–m2) = 49m2 = (7m)2. x1 = (5m+7m)/(2 • 6) = 12m/(2 • 6) = m; x2 = (5m-7m)/(2 • 6) < 0 – не задовольняє умову. 6) AC = m + 2m = 3m; BC = m + 3m = 4m; AB = 5m. 7) P = 3m + 4m + 5m = 12m. Відповідь: 12m.