Задачі підвищеної складності » 17

У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти AH1, BH2 і CH3. H – точка їх перетину. Серед семи точок A, B, C, H1, H2, H3 і H укажіть усі такі їх четвірки, через які можна провести коло. 1) Розглянемо чотирикутник AH3HH2. Оскільки ∠AH3H = 90° і ∠AH2H = 90°, то ∠AH3H + ∠AH2H = 180°, і навколо чотирикутника AH3HH2 можна описати коло. 2) Аналогічно навколо чотирикутників BH1HH3 і CH2HH1 можна описати коло. 3) Опишемо коло навколо чотирикутника CH2HH1. Тоді ∠HH2H = ∠HCH1 = α (як вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу). 4) У ∆ВСН3: ∠Н3ВС = 90° – α. 5) ∠AH2H1 = 90° + а. 6) ∠ABC + ∠AH2H1 = 90° – α + 90° + α = 180°, отже, навколо ABH1H2 можна описати коло. 7) Аналогічно можна описати коло навколо чотирикутників ACH1H3 і BCH2H3. Відповідь: A, H3, Н, H2, В, H1, Н, H3, С, Н2, H, Н1; А, В, H1, H2; А, С, Н1, H3, В, С, H2, H3.