Задачі підвищеної складності » 35

Усередині прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) узято точку M так, що площі трикутників AMB, BMC і CMA рівні між собою. Доведіть, що MA2 + MB2 = 5MC2. 1) Позначимо AC = b; BC = a; LM ⊥ AC; MK ⊥ BC. 2) S∆AMC = 1/3 S∆ABC; 1/2b • LM = 1/3 • 1/2ab, тому LM = a/3; 3) CK = LM = b/3. 4) Тоді AL = AC – CL = b – b/3 = 2b/3; аналогічно KB = 2a/3. 5) CM2 = CK2 + KM2 = (a/3)2 + (b/3)2 = (a^2+ b^2)/9 = 1/9(a2 + b2). 6) AM2 = AL2 + LM2 = (2b/3)2 + (a/3)2 = 1/9(4b2 + a2). 7) MB2 = MK2 + KB2 = (b/3)2 + (2a/3)2 = 1/9(b2 + 4a2). 8) Тоді 5МС2 = 5/9(a2 + b2) i AM2 + MB2 = 1/9(4b2 + a2 + b2 + 4a2) = 1/9(5a2 + 5b2) = 5/9(a2 + b2). Отже, АМ2 + МВ2 = 5МС2, що й треба було довести.