Задачі підвищеної складності » 26

Два кола різних радіусів мають зовнішній дотик. MN – їх спільна зовнішня дотична, M і N – точки дотику. Доведіть, що довжина відрізка MN є середнім геометричним діаметрів кіл. 1) Нехай центри кіл — точки O1 і O2, а їхні радіуси r1 і r2 (r2 > r1); O1M ⊥ MN; O2N ⊥ MN. 2) O1O2 = r1 + r2. 3) Проведемо O1K ∥ MN. Тоді O1MNK — прямокутник. 4) KO2 = NO2 – NK = r2 – r1; O1K = MN = √(O_1 O_2^2- KO_2^2 ) = √((r_1+ r_2 )^2-(r_1- r_2 )^2 ) = √(4r_1 r_2 ) = √(2r_1 •2r_2 ) = √(d_1 d_2 ), де d1 i d2 – діаметри кіл. Доведено.