Задачі підвищеної складності » 37

У трикутнику ABC h1, h2, h3 – висоти, проведені відповідно до сторін AB, BC і CA, а d1, d2, d3 – відстані від довільної точки P, що знаходиться всередині цього трикутника, до сторін AB, BC і CA відповідно. Доведіть, що d_1/h_1 + d_2/h_2 + d_3/h_3 = 1. 1) BK = h1 – висота ∆АВС. 2) S_∆AРC/S_∆ABС = d_1/h_1 (трикутники мають рівні основи АС). Тому S∆APC = d_1/h_1 • S∆ABC (1). 3) Аналогічно S∆BAP = d_2/h_2 • S∆ABC (2), S∆BPC = d_3/h_3 • S∆ABC (3). 4) Додамо почленно (1), (2), (3). S∆APC + S∆BPC + S∆BAP = S∆ABC (d_1/h_1 + d_2/h_2 + d_3/h_3 ); S∆ABC = S∆ABC (d_1/h_1 + d_2/h_2 + d_3/h_3 ). Отже, d_1/h_1 + d_2/h_2 + d_3/h_3 = 1, що й треба було довести.