Задачі підвищеної складності » 42

У трапеції ABCD M – середина більшої основи AD, AB = BC = CD = а. Точка перетину діагоналей трапеції збігається з точкою перетину висот трикутника BMC. Знайдіть площу трапеції. 1) Точка перетину діагоналей — точка K є точкою перетину висот ∆ВСМ, тому CL ⊥ BM. 2) ∆BAL = ∆BCL (за катетом і гіпотенузою), тому ∠BAC = ∠BCA. 3) ∠BCA = ∠CAD (внутрішні різносторонні). Тому ∠BAC = ∠CAM. 4) ∆BAL = ∆MAL (за катетом і гострим кутом). Тому AM = AB = а. 5) Аналогічно MD = CD = a; AD = 2а. 6) BF — висота трапеція; AF = (AD-BC)/2 = (2a-a)/2 = a/2. 7) ∆ABF: BF = √(a^2- (a/2 )^2 ) = √((3a^2)/4) = (a√3)/2. 8) S = (AD+BC)/2 • BF = (2a+a)/2 • (a√3)/2 = (3a^2 √3)/4. Відповідь: (3a^2 √3)/4.