Задачі підвищеної складності » 34

Доведіть, що відстані від довільної точки діагоналі паралелограма до непаралельних сторін обернено пропорційні довжинам цих сторін. 1) Нехай M — довільна точка діагоналі AC паралелограма ABCD; MN ⊥ AD. 2) Нехай CK— висота паралелограма. Тоді S_∆AMD/S_∆ACD = MN/CK (оскільки трикутники AMD i ACD мають однакові основи). 3) Проте ∆AMN ~∆ACK (за двома кутами), тому MN/CK = AM/AC. Отже, S∆AMD = AM/AC • S∆ACD. 4) Аналогічно можна довести, що S∆AMB = AM/AC • S∆ABC. 5) ∆ACD = ∆CAB, тому S∆ACD = S∆ABC. 6) Маємо S∆AMB = S∆AMD, тому 1/2АВ • ML = 1/2AD • MN. MN/ML = AB/AD = (1/AD)/(1/AB). Доведено.