Задачі підвищеної складності » 31

Обчисліть: 1) sin 15°; 2) sin 75°. 1) Розглянемо ∆ABD, у якого ∠D = 90°; ∠A = ∠B = 45° і ∆BCD, у якого ∠D = 90°; ∠DBC = 30° (див. рисунок). 2) Тоді ∠ABC = 75°. 3) Позначимо AD = BD = 1, тоді АВ = √(〖AD〗^2+〖BD〗^2 ) = √(1^2+ 1^2 ) = √2. 4) У ∆BDC: tg∠DBC = DC/BD; DC = 1/√3. Тоді ВС = √(〖BD〗^2+〖DC〗^2 ) = √(1+ 1/3) = √(4/3) = 2/√3. 5) Проведемо висоту АК трикутника АВС. 6) S∆ABC = 1/2AC • BD = 1/2BC • AK; (1 + 1/√3) • 1 = 2/√3 • AK; √3 + 1 = 2 • AK; AK = (√3 + 1)/2. 7) У ∆АКВ: ∠КАВ = 90° – 75° = 15°; КВ = √(〖АВ〗^2- 〖АК〗^2 ) = √((√2 )^2- ((√3+ 1)/2 )^2 ) = √(2- (3+2√3+1)/4) = √((8-3-2√3- 1)/4) = √((4-2√3)/4) = √(((√3 )^2- 2√3+ 1^2)/4) = √((√3- 1)^2 )/2 = (√3- 1)/2. 8) У ∆АВК: sin∠KAB = KB/AB; sin15° = (√3- 1)/(2√2) = (√2(√3- 1))/(2 • 2) = (√6- √2)/4. 9) sin∠ABK = sin75° = AK/AB = (√3+ 1)/(2√2) = (√6+ √2)/4. Відповідь: 1) sin15° = (√6- √2)/4; 2) sin 75° = (√6+ √2)/4.