Задачі підвищеної складності » 39

На сторонах AB, BC, AC трикутника ABC позначено точки M, K, P так, що AM : MB = BK : KC = CP : PA = 2 : 1. Площа трикутника ABC дорівнює S. Знайдіть площу чотирикутника APKM. 1) BL — висота ∆АВС; KN— висота ∆PKC. 2) ∆BLC ~ ∆KNC (за двома кутами); BL/KN = BC/KC = 3/1; KN = 1/3 BC. 3) S_∆PKC/S_∆ABC = (1/2 PC • KN)/(1/2 AC • BL) = (2/3 AC • 1/3 BC)/(AC • BL) = 2/9, отже S∆PKC = 2/9S∆ABC. 4) Аналогічно S∆BMK = 2/9S∆ABC. 5) SAPKM = S∆ABC – S∆BMK – S∆PKC = S∆ABC – 2 • 2/9S∆ABC = 5/9S∆ABC = 5/9S. Відповідь: 5/9S.