Роздiл 5. Коло i круг » 900

Доведіть, що геометричним місцем центрів кіл, що дотикаються до сторін кута, є бісектриса цього кута. 1) Нехай коло з центром у точці О дотикається до сторін кута в точці А та С. Тоді oa AB ⊥ АВ, ОС ⊥ BC. Оскільки ОА = ОС як радіуси, BO – спільна сторона трикутників ОАВ і ОСВ, то ∆ОАВ = ∆ОСВ як прямокутні трикутники за катетом і гіпотенузою. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠АВО = ∠СВО, а це означає, що BD – бісектриса кута ABC; 2) доведемо, що кожна точка бісектриси кута є центром кола, яке дотикається до сторін кута. Для цього покажемо, що кожна точка бісектриси рівновіддалена від сторін кута. Нехай D – довільна точка бісектриси BO кута В. Прямокутні трикутники BAD і BCD рівні за гіпотенузою і гострим кутом (∠ABD = ∠CBD, бо BO – бісектриса). Тому DA = DC. Oтже, точка D є центром кола радіуса DA = DC. Oскільки AB ⊥ DA, то за властивістю дотичної точки А є точкою дотику. Aналогічна точка C теж є точкою дотику.