Розділ 2. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН » 4.45

Точка D не лежить у площині трикутника ABC (мал. 4.18). На відрізках AD, CD і BC позначено точки К, L iM відповідно так, що DK : KA = DL : LC = BM : MC = 1:3. 1) Доведіть, що пряма AC паралельна площині KLM. 2) Яким є взаємне розміщення прямої BD і площини KLM? 3) Побудуйте точку N — точку перетину площини KLM і відрізка AB. Побудову обґрунтуйте. 4) Знайдіть PKLMN, якщо AC = 8 см, BD = 12 см. DК : КА = DL : LC = BM : MC = 1 : 3. 1. Довести: АС ∥ (КLМ). КL ∥ АС, бо DК : КА = DL : LС за т. Фалеса. Якщо в площині (КLМ) є пряма, паралельна АС, то АС ∥ (КLМ) за ознакою паралельності прямої і площини. 2) ВD ∥ LМ, бо СL : LD = СМ : МВ, тому ВD ∥ (LММ). 3) N = (KLM) ∩ AB. KN ∥ ВД, коли AN : NB = 3 : 1. Тому будуємо точку N в такому співвідношені. 4) АС = 8 см, ВD = 12 см. PLMNK – ? LMNK – паралелограм, бо протилежні сторони паралельні. KL∥AC, MN∥AC ⇒ KL∥MN. ML∥DD, KN∥BD ⇒ ML∥KN. ∆CLM ~ ∆CDB ⇒ CM/CB = ML/BD; 3/4 = ML/12; ML = (3 • 12)/4 = 9 (см). ∆KDL ~ ∆ADC ⇒ KL/AC = KD/AD; KL/AC = 1/4; KL = (8 • 1)/4 = 2 (cм). Р = 2 • (9 + 2) = 2 • 11 = 22 (см).