Розділ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА » 18.44

18.44 (Перша міжнародна математична олімпіада школярів, 1959 р.) Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n дріб (21n+4)/(14n+3) є нескоротним. 1) Нехай d ≥ 1 — найбільший спільний дільник чисельника і знамен–ника при деякому n. 2) Тоді 21n + 4 = sd; 14n + 3 = td, де t і s — цілі числа. –42n – 8 = –2sd, + 42n + 9 = 3td, 1 = 3td – 2sd; d(3t – 2s) = 1. 3) Проте 3t – 2s — ціле число. Звідси d ≤ 1. 4) Протиріччя. Чисельник і знаменник при будь–якому n — взаємно прості числа, а тому дріб (21n+4)/(14n+3) — нескоротний, що и треба було до– вести.