Вправи 401 - 562 » 460

Якщо середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює її висоті, то діагоналі трапеції перпендикулярні. Доведіть. ABCD — трапеція (AD ∥ ВС), AB = CD, MN — середня лінія. Проведемо BK ⊥ AD, CN ⊥ AD, тоді CN = AN і BK = KD (задача 312), звідси ∆ACN і ∆BKD — прямокутні і рівнобедрені, тоді ∠CAN = ∠ACN = ∠KBD = ∠KDB = (90°)/2 = 45°. Із трикутника AOD маємо ∠AOD = 180° – ∠OAD – ∠ODA = 180° – 45° – 45° = 90°, отже, AС ⊥ ВD. Таким чином, якщо середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює ії висоті, то діагоналі трапеції перпендикулярні.