Вправи 401 - 562 » 553

553. Доведіть, що бісектриси кутів чотирикутника, перетинаючись, утворюють чотирикутник, навколо якого можна описати коло (див. мал. 271). Оскільки ∠AND + ∠BPC = (180° – ∠NAD – ∠NDA) + (180° – ∠PBC – ∠PCB) = 180° – 1/2∠BAD – 1/2ADC + 180°– 1/2∠ABC – 1/2∠BCD = 360° – 1/2(∠BAD + ∠ADC + ∠ABC + ∠BCD) = 360° – 1/2 • 360° = 360° – 180° = 180°. Тоді ∠NMP + ∠NKP = 360° – (∠AND + ∠BPC) = 360° – 180° = 180°. Оскільки суми протилежних кутів чотирикутника MNKL дорівнюють по 180°, то навколо нього можна описати коло.