Вправи 401 - 562 » 555

555. Доведіть, що у вписаному чотирикутнику ABCD бісектриса кута А перетинається з бісектрисою зовнішнього кута при вершині С у точці, яка лежить на колі, описаному навколо чотирикутника. ∠DCK — зовнішній кут до кута С, ∠DCM = ∠MCK, ∠BAM = ∠DAM. Оскільки ∠A + ∠C = 180°, тоді ∠C = 180° – ∠A, ∠DCK= 180° – (180° – ∠A) = ∠A. Розглянемо чотирикутник ABCN. У нього ∠BAM + ∠BCM = 1/2∠A + ∠BCD + 1/2∠A = ∠A + ∠BCD = 180°, тоді ∠ABC + ∠AMC = 360° – 180° = 180°. Чотирикутник ABCM — вписаний у коло, отже, точка М належить колу.