§ 1. Чотирикутники - Вправи 1 - 100 » 80

На сторонах AB і BC паралелограма ABCD поза ним побудовано рівносторонні трикутники ABM і BCK. Доведіть, що трикутник MKD рівносторонній. Нехай АВСD — паралелограм, ∆АВМ — рівносторонній. ∆ВКС — рівносторонній. Доведемо, що ∆МКD — рівносторонній. Так як ∆КВС і ∆АВМ — рівносторонні, то ∠КВС = ∠МВА = 60° ⇒ ∠КВС і ∠МВА — вертикальні. ∠КВС = ∠BAD = 60° (як відповідні при ВС ∥ АВ і січній АК). ∠BAD = ∠BCD = 60° (як протилежні кути паралелограма ABCD). ∠АВС + ∠BAD = 180° (як сусідні кути паралелограма ABCD). ∠АВС = 180° – 60° = 120°. Розглянемо ∆МАD, ∆DСК, ∆МВК. 1) МВ = МА = СD. 2) АD = КС = ВК. 3) ∠МВК = ∠АВС = 120° (як вертикальні). ∠МАD = ∠ MAВ + ∠ВАD = 60° + 60° = 120°; ∠КСD = ∠КСВ + ∠ВСD = 60° + 60° = 120°. Отже, ∆МАD = ∆DСК = ∆МВК (за І ознакою рівності трикутників), тоді МD = КD = МК. ∆МКD — рівносторонній.