§ 1. Чотирикутники - Вправи 1 - 100 » 25 (1)

Доведіть, що коли бісектриси двох протилежних кутів опуклого чотирикутника паралельні або лежать на одній прямій, то два інших кути чотирикутника рівні. 1) За умовою ВN ∥ KD, ВС — січна. За ознакою паралельних прямих маємо: ∠NВК = ∠DКС (відповідні). Аналогічно ВN ∥ КD, АD — січна. За ознакою паралельних прямих маємо: ∠ANB = ∠NDК (відповідні). За умовою ВN — бісектриса ∠ABC. За означенням бісектриси кута маємо: ∠АBN = ∠NВС. Якщо ∠NBK = ∠DКС, тоді ∠АBN = ∠DKС. Нехай ∠ABN = ∠DKC = х. За умовою DК — бісектриса ∠АDС. Тоді ∠ADК = ∠КDС. Якщо ∠NDK = ∠АNВ, тоді ∠ANВ = ∠КDС. Нехай ∠ANB = ∠КDС = y. Розглянемо ∆АNВ. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠А + ∠АBN + ∠BNA = 180°. Якщо ∠АBN = х і ∠BNA = y, тоді ∠A = 180° – (∠АBN + ∠ВNА), а саме ∠A = 180° – (х + у). Розглянемо ∆DКС. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠C + ∠КDС + ∠DKC = 180°. Якщо ∠KDC = у і ∠DКС = х, тоді ∠C = 180° – (∠КDС + ∠DКС), а саме ∠C = 180° – (х + у). Отже, ∠A = ∠C = 180° – (х + у). Доведено.