Вправи 201 - 300 » 263

263. Доведіть, що коли діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії трапеції. Нехай АВСD — трапеція, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, АВ = СD, АС і ВD — діагоналі, АС ⊥ ВD, АС ∩ ВD = т. О, ВK — висота, MN — середня лінія. Доведемо, що ВК = МN. Проведемо ВF ∥ АС і продовжимо АD до перетину з ВF. Чотирикутник ВСАF — паралелограм (ВС ∥ FА як основи трапеції, FВ ∥ АС за побудовою). Отже, FВ = АС, FА = ВС, FD = FА + АD = ВС + АD. ∆РВО — прямокутний (якщо пряма перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і іншій). Оскільки в рівнобедреній трапеції діагоналі рівні, а ВF = АС, то ВF = ВD, тобто ∆FВD — рівнобедрений з основою FD. Висота ВK є медіаною, тоді BK = 1/2FD = (FA+AD)/2 = (BC+AD)/2 = MN, отже, BK = MN.