Задачі і вправи підвищеної складності » 1402

1402. Доведи тотожність Ейлера: Перетворимо вирази: a3 + b3 + ((〖2a〗^3 b+ b^4)/(a^3- b^3 ))3 = ((a^4+ 2ab)/(a^3- b^3 ))3; (a^3 (a^3- b^3 )^3+ b^3 (a^3- b^3 )^3+ (〖2a〗^3 b+ b^4 )^3)/(〖(a〗^3- b^3 )^3 ) = (〖(a〗^4+ 〖2ab〗^3 )^3)/(〖(a〗^3- b^3 )^3 ); (а3 – b3)3 (а3 + b3) + (2а3b + b4)3 = (а4 + 2аb3)3; (а6 – b6) (a3 – b3)2 + b3(2а3 + b3)3 = (а4 + 2аb3)3; а12 – b12 – 2а3b3 (а6 – b6) + b3(8а9 + 12а6b3 + 6а3b6 + b9) = а12 + 6а6b6 + 12а6b6 + 8а3b9; а12 – b12 – 2а9b3 + 2а3b9 + 8а9b3 + 12а6b6 + 6а3b9 + b12 = а12 + 6а9b3 + 12а6b6 + 8а3b9; а12 + 6а9b3 + 12а6b6 + 8а3b9 = а12 + 6а9b3 + 12а6b6 + 8а3b9. Отже, ліва частина дорівнює правій, тотожність при всіх допустимих значеннях змінної, доведено. х3 + у3 + z3 = t3, такі числа існують, наприклад, 13 + 63 + 83 = 92; 1 + 216 + 512 = 729. Відповідь: так, існують.