Задачі і вправи підвищеної складності » 1401

1401. Доведи, що сума дробів, тотожно дорівнює їх добутку. (a-b)/(1+ab) + (b-c)/(1+bc) + (c-a)/(1+ca) = 1) (a-b)/(1+ab) + (b-c)/(1+bc) = ((a-b)(1+bc)+ (b-c)(1+ab))/((1+ab)(1+bc)) = (a+abc-b- b^2 c+b+ ab^2- c-abc)/((1+ab)(1+bc)) = (b^2 (a-c)+ (a-c))/(1+ab)(1+bc) = (〖(a-c)(b〗^2+ 1))/((1+ab)(1+bc)) = ((c-a)(〖-b〗^2- 1))/((1+ab)(1+bc)); 2) ((c-a)(〖-b〗^2- 1))/((1+ab)(1+bc)) + ((c-a))/((1+ca)) = ((c-a))/((1+ca)) • ((〖(-b〗^2- 1)(1+ca))/((1+ab)(1+bc)) + ((1+ab)(1+bc))/((1+ab)(1+bc))) = ((c-a))/((1+ca)) • ((〖-b〗^2- b^2 ca-1-ca+1+bc+ab+ ab^2 c)/((1+ab)(1+bc))) = ((c-a))/((1+ca)) • (a(b-c)- b(b-c))/((1+ab)(1+bc)) = ((c-a))/((1+ca)) • ((b-c)(a-b))/((1+ab)(1+bc)) = ((c-a))/((1+ca)) • ((b-c)(a-b))/((1+ab)(1+bc)) = (c-a)/(1+ca) • (b-c)/(1+bc) • (a-b)/(1+ab). Отже, сума виразів дорівнює добутку, доведено.