Задачі і вправи підвищеної складності » 1429

1429. Знайди два натуральних числа, сума яких дорівнює 667, а частка від ділення їх найменшого спільного кратного на найбільший спільний дільник дорівнює 120. Нехай числа а і b, тоді а + b 667, а (НСК(a,b))/(НСД(a,b)) = 120; НСК(а; b) = 120 • НСД(а; b); b = 667 – а, тоді за властивістю НСК і НСД чисел, отримаємо: ab/(НСД(a,b)) = НСК(а, b); аb = 120 • (НСД(а; b)2). Нехай НСД(а; b) = x, тоді ab = 120x2, a(667 – a) = 120x2, x + b = 667; b = 667 – a; a2 – 667a + 120x2 = 0; a = (667 ±√(667^2- 480 • x^2 ))/2, де х ∈ N. Якщо х = 12, то а = (667 ±613)/2; а1 = 640; b1 = 27; a2 = 27; b2 = 640. Відповідь: 640; 27.