Задачі і вправи підвищеної складності » 1432

1432. Доведи, що числа а, b, с — корені рівняння х3 – (а + b + с)х2 + (ab + ас + bc)х = abc. Користуючись цим твердженням, розв’яжіть рівняння х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0. х3 – (а + b + с)х2 + (ab + ас + bс) • x = abc. Якщо х = а, то а3 – (a + b + c) • a2 + (ab + ac + bc) • a = a3 – a3 – a2c + a2b + a2c + abc = abc, отже, а — корінь рівняння. Якщо х = b, то b3 – (а + b + с) • b2 + (ab + ас + bс) • b = b3 – ab2 – b3 – b2c + ab2 + abc + b2с = abc, b — корінь рівняння. Якщо х = с, то с3 – (а + b + с) • с2 + (ab + ас + bс) • с = c3 – ac2 – c3 – bc2 + abc + ac2 + bc2 = abc, c — корінь рівняння. x3 – 6х2 + 11x – 6 = 0; x3 – (1 + 2 + 3) • x2 + (1 • 2 + 2 • 3 + 1 • 3) • x – 1 • 2 • 3 = 0. Тому: a = 1, b = 2, c = 3, або a = 1, b = 3, c = 2; a = 2, b = 1, c = 3; або a = 2, b = 3, c = 1; a = 3, b = 1, c = 2; або a = 3, b = 2, c = 1. Відповідь: 1; 2; 3.