Розділ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ » 10.38

10.38 (Олімпіада Нью–Йорка, 1977 р.) Розв’яжіть рівняння 2х + 1 = у2 в натуральних числах1. 1) 2х = у2 – 1; 2х = (у – 1)(у + 1 ). 2) Оскільки х і у — натуральні числа, то числа у – 1 і у + 1 — дільники числа 2х. Позначимо у – 1 = 2Р; у + 1 = 2q, де р і q — нуль або натуральні числа і р < q. 3) Маємо 2q – 2p = (у + 1) – (у – 1) = 2. Тобто 2p(2q–p – 1) = 2. Якщо q – р > 1, то 2q–p – 1 — непарне число. Тому q – р ≤ 1. 4) Оскільки p < q i q – p ≤ 1, то q – р = 1, q = 1 + р. Маємо 2p • (2 – 1) = 2; 2Р = 2; р = 1. 5) Тоді q = 2 .Маємо з п. 2) y = 2q – 1 = 22 – 1 = 4 – 1 = 3 чи y = 2р + 1 = 21 + 1 = 2 + 1 = 3. Тоді 2х = 8; х = 3. Відповідь: х = 3; у = 3.