Розділ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ » 7.29

Доведіть, що значення виразу є додатним при всіх допустимих значеннях змінної. ((m^2- 3m)/(m^3+ 3m^2+ 3m+1) + 1/(m^2+ 2m+1))((3-m)/(m^2- 2m+1) – 2/(1- m)). 1. m3 + 3m2 + 3m + 1 = (m3 + 1) + (3m2 + 3m) = (m + 1)(m2 – m + 1) + 3m(m + 1) = (m + 1)(m2 – m + 1 + 3m) = (m + 1)(m2 + 2m + 1) = (m + 1)(m + 1)2 = (m + 1)3. 2. m^(2-3m)/(m^3+ 3m^3+ 3m+1) + 1/(m^2+ 2m+1) = (m^2- 3m)/((m+1)^3 ) + 1/((m+1)^2 ) = (m^2- 3m+m+1)/((m+1)^3 ) = (m^2- 2m+1)/((m+1)^3 ) = ((m-1)^2)/((m+1)^3 ). 3. (3-m)/(m^2- 2m+1) – 2/(1-m) = (3-m)/((1-m)^2 ) – 2/(1-m) = (3-m-2(1-m))/((1-m)^2 ) = (3-m-2+2m)/((m-1)^2 ). 4. ((m-1)^2)/((m+1)^3 ) • (m+1)/((m-1)^1 ) = 1/((m+1)^2 ). Оскільки (m + 1)2 > 0 для всіх допустимих значень m, то 1/((m+1)^2 ) > 0. Тобто значення виразу є додатнім для всіх значень змінної, що й треба було довести.