Вправи 501 - 595 » 547

Доведіть, що 1/(√3+ 1) + 1/(√5+ √3) + 1/(√7+ √5) + … + 1/(√91+ √89) = (√91- 1)/2. Розглянемо ліву частину тотожності: 1/(√3+ 1) + 1/(√5+ √3) + 1/(√7+ √5) + … + 1/(√91+ √89) = 1. 1/(√3+ 1) + (√3- 1)/((√3+ 1)(√3- 1)) = (√3- 1)/(3-1) = (√3- 1)/2; 2. 1/(√5+ √3) = (√5- √3)/((√5+ √3)(√5- √3)) = (√5- √3)/(5- 3) = (√5- √3)/2; 3. 1/(√3+ √1) + … + 1/(√91+ √89) = (√91- √89)/2. Знайдемо суму отриманих виразів: (√3- 1)/2 + (√5- √3)/2 + (√7- √5)/2 +…+ (√91- √89)/2 = (√3- 1+ √5- √3+ √7- √5+ √9- √7+ …+ √91- √89)/2 = (√91- 1)/2. (√91- 1)/2 = (√91- 1)/2. Доведено.