Вправи 601 - 700 » 694

694. Доведи, що діаметр кола, вписаного в рівнобічну трапецію, є середнім пропорційним основ трапеції. Нехай дано рівнобічну трапецію ABCD. MN — діаметр кола, вписаного в рівнобічну трапецію. Доведемо, що MN2 = BC • AD. Оскільки коло вписано, то BC + AD = 2АВ, тоді AB = (BC+AD)/2. Проведемо BK ⊥ AD тоді AK = (AD-BC)/2. BK2 = AB2 – AK2 = ((BC+AD)/2)2 – ((AD-BC)/2)2 = (BC^2+ 2BC •AD+ AD^2- AD^2+ 2AD •BC- BC^2)/4 = (4AD •BC)/4 = BC • AD. Отже, BK2 = BC •AD і BK = MN, то MN2 = BC • AD.