Вправи 601 - 700 » 651

651. Відстань від центроїда трикутника до довільної прямої, яка не перетинає трикутник, дорівнює середньому арифметичному відстаней від усіх його вершин до цієї прямої. Доведи це, користуючись малюнком 11.17. Дано: ∆АВС; пряма l, M – центроїд; АА1 = а; ВВ1 = b; CC1 = c; MM1 = m. Довести: m = (a+b+c)/3. Доведення Оскільки пряма l не перетинає ∆АВС, проекції точок на пряму l (B1 і С1) утворюють трапецію ВСС1В1. КК1 – середня лінія трапеції: КК1 = (〖ВВ〗_1+ 〖СС〗_1)/2 = (b+c)/2; Точка М лежить на медіані АК і ділить її у відношенні 2 : 1. АМ = 2/3АК. Розглянемо прямокутну трапецію А1АКК1: ММ1 ∥ АА1. ММ1 = (1 • 〖АА〗_1+ 2〖КК〗_1)/(1+2) = (а+2 • (b+c)/2)/3 = (a+b+c)/3. Отже, m = (a+b+c)/3.