Розділ 4. Многокутники та їх площі. » 1000

1000. Знайди радіус кола: а) вписаного в рівносторонній трикутник зі стороною а; б) описаного навколо рівностороннього трикутника зі стороною а; в) описаного навколо квадрата зі стороною а. а) ∆ABC — рівносторонній; O — центр вписаного кола. OM — радіус вписаного кола. OM ⊥ BC. M — середина BC. ∆OMC — прямокутний. OM = r; MC = a/2. ∠OCM = 30°; OС = 2OМ = 2r; (2r)2 – r2 = (a/2)2 (теорема Піфагора). 3r2 = a^2/4. Звідси: r2 = a^2/4; r = a/(2√3). б) ∆ABC — рівносторонній; OB = OC = R. OK ⊥ BC. ∆OBK — прямокутний, в якому OB = R, BK = a/2, ∠BOK =60° • (1/2∠BOC). ∠OBK = 30°. За властивістю прямокутного трикутника з кутом 30° : OK = 1/2ОВ, тобто r = 1/2R або R = 2r = 2a/(2√3) = a/√3. в) ABCD — квадрат, CD = а — сторона квадрата. ∆COD — прямокутний (CA ⊥ BD). OC = R. За теоремою Піфагора: OC2 + OD2 = CD2, R2 + R2 = а2, 2R2 = O2. R2 = a^2/2. Звідси, R = a/√2. або R = (a√2)/2.