Вправи 201 - 300 » 238

238. Якщо на прямій a відкласти кілька рівних відрізків і через них провести паралельні прямі до перетину з прямою b, то і на прямій b вони відсічуть рівні відрізки. Доведи це твердження. На прямій а відкладені відрізки A1A2 = A2A3, через їх кінці — точки A1, A2 і A3, проведені паралельні прямі, які перетинають пряму відповідно в точках B1, B2 і B3. Довести: B1B2 = B2B3. Насамперед зауважимо, що для наглядності ми обмежилися двома рівними відрізками на прямій а. Спочатку розглянемо випадок, коли прямі а і b паралельні (на малюнку взята пряма с ∥ а, яка проходить через точку B2). Очевидно, при цьому утворилися два рівні паралелограми A1B1C2A2 і A2B2C3A2. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то C1B2 = B2C1 і в цьому випадку твердження задачі доведено. Нехай тепер прямі а і b перетинаються в деякій точці O під гострим кутом α. Тоді ∠C1B2B1 = ∠B3B2C3 = α як вертикальні і ∠C1B1B2 = ∠B3C1B2 як внутрішні різносторонні кути при січній B1B3 та паралельних прямих A1B1 і A1A3. тобто ∆C1B2B1 = AB3B2C3 за стороною (C1B2 = B2C3) і двома прилеглими кутами. Отже, B1B2 = B2B3 і справедливість твердження задачі доведена повністю.