Вправи 201 - 300 » 219

219. На одній зі сторін кута відклали рівні відрізки і через їхні кінці провели прямі, перпендикулярні до бісектриси кута. Доведи, що відрізки, утворені на обох сторонах кута, рівні. За умовою на стороні AB ∠BAC відкладені рівні відрізки AB1 = B1B2 = ... = Bn–1Bn. Через кінці цих відрізків перпендикулярно до бісектриси AL ∠BAC проведені прямі. Нехай ці прямі перетинають бісектрису AL і другу сторону AC ∠BAC відповідно в точках L1, L2, ..., Ln та точках C1, C2, ..., Cn. Згідно з теоремою Фалеса, відрізки AL1 = L1L2 = ... = Ln–1Ln та відрізки AC1 = C1C2 = ...= Cn–1Cn. Дійсно, оскільки прями B1C1, B2C2,…, BnCn утворюють з бісектрисою AL один і той самий прямий кут, то всі ці прямі паралельні між собою і всі твердження теореми Фалеса виконуються. Більш того, в трикутниках B1AC1, де і = 1, 2, .... (більш короткий еквівалентний запис і = (1,n ) ̅) бісектриси AL і одночасно являються висотами і медіанами, тому ∆B1AC1, і = (1,n ) ̅ — рівнобедрені, тобто AB1 = AC1, і = (1,n ) ̅ значить, відрізки AB1 = CC1, B1B2 = C1C2,..., Вn–1Вn, і = (1,n ) ̅, що й треба було довести.