Вправи 201 - 300 » 229

Доведи, що пряма, яка містить середню лінію трикутника, рівновіддалена від усіх його вершин. В довільному ∆ABC KL — середня лінія, KL ∥ AD. Довести: KL рівновіддалена від вершин А, В і C ∆ABC. Твердження задачі завідомо являється неправильним і ми це зараз доведемо. Дійсно, найкоротша відстань від KL до вершини B — це висота BH ∆KBL. Найближче до точок відрізка KL вершини A знаходиться точка K ∈ KL, бо за основною властивістю сторін трикутника є нерівність AK < KN + AN (трикутник існує, коли кожна із сторін трикутника має довжину меншу, ніж сума довжин двох інших сторін, тобто, найменша відстань від точки A — це довжина відрізка BK). Так само найменша відстань від точок KL до вершини C — довжина відрізка LC. За умовою KL — середня лінія ∆АВС, тому AK = KB і LC = BL. Тобто найменша відстань точок KL до вершин А, B i C ∆ABC становить: 1) від вершини B — довжина висоти BH ∆KBL; 2) від вершин A i С — це довжини бокових сторін KB і BL ∆KBL відповідно, а це доводить: по–перше, в будь–якому реально існуючому трикутнику висота завжди коротша від бокових сторін ∆АВС, тобто BH < KB і KH коротша від бокової сторони BL ∆KBA (похила завжди довша за перпендикуляр, проведений з деякої фіксованої точки до однієї прямої а). В даному випадку — похила — це бічна сторона KB, а перпендикуляр — це висота BH ∆KBL, тобто KB > BH. Так само бокова KL > BH. Це очевидно. Що й потрібно довести. Нерівність відстаней від точок середньої лінії KL ∆ABC до його вершин А, В, С.