4. Коло та круг » 649

Точки F i O — центри вписаного й описаного кіл рівнобедреного трикутника ABC відповідно (рис. 347). Вони розташовані на однаковій відстані від його основи AC. Знайдіть кути трикутника ABC. Дано: ∆АВС — рівнобедрений, AB = BC. F — центр вписаного кола, O — центр описаного кола. OE = EF. Знайти: кути ∆ABC. Розв’язання: F — центр вписаного кола. Отже, AF — бісектриса ∠BAC. Нехай ∠EAF = ∠FAB = x, тоді ∠BAE = 2х. Розглянемо ∆AFE — прямокутний (∠E = 90°). За властивістю гострих кутів маємо: ∠EFA = 90° – х. Розглянемо ∆AEB — прямокутний (∠E = 90°), ∠ABE = 90° – 2х. За умовою O — центр описаного кола, тобто OA = OB — радіуси описаного кола. Розглянемо ∆OAB — рівнобедрений (OA = OB). За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠ABO = ∠BAO. Розглянемо ∆AEB — прямокутний (∠E = 90°). ∠ABE = 90° – 2х; ∠ABO = ∠BAO = 90° – 2х. ∠OAE = ∠OAB – ∠EAB; ∠OAE = 90° – 2х – 2х = 90° – 4x. За умовою OE = EF і AE ⊥ OF. Отже, AE — медіана і висота. Звідси маємо: ∆OAF — рівнобедрений. ∠OAF = 2∠OAE = 180° – 8x. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠OAF + ∠AFO + ∠FOA = 180°. 180° – 8x + 90° – x + 90° – х = 180°; 180° – 10x = 0; 10x = 180°; x = 18. ∠BAC = ∠BCA = 18° ∙ 2 = 36°; ∠ABC = 180° – 2 ∙ 36° = 180° – 72° = 108°. Відповідь: 36°, 36°, 108°.