4. Коло та круг » 635

Доведіть, що коли центри вписаного й описаного кіл трикутника збігаються, то цей трикутник рівносторонній. Дано: ∆ABC, O — центр вписаного і описаного кола. Довести: ∆ABC — рівносторонній. Доведення: Якщо O — центр описаного кола, тоді O — точка перетину серединних перпендикулярів, BN — серединний перпендикуляр. Якщо O — центр вписаного кола, тоді O — точка перетину бісектрис, BN — бісектриса. Аналогічно: AK — бісектриса, висота, медіана. CE — бісектриса, висота, медіана. Отже, за властивістю рівностороннього трикутника маємо: ∆ABC — рівносторонній. Доведено.