4. Коло та круг » 705

Серединний перпендикуляр гіпотенузи AB прямокутного трикутника ABC перетинає катет BC у точці М. Відомо, що ∠MAC: ∠MAB = 8 : 5. Знайдіть гострі кути трикутника ABC. Нехай даний ∆АВС (∠C = 90°), MK — серединний перпендикуляр до AB, ∠CAM : ∠MAB = 8 : 5. Знайдемо ∠A і ∠B. Нехай х — одна частина, тоді ∠CAM = 8x, ∠MAB = 5х, Розглянемо ∆AMB. MK — висота (MK ⊥ АВ), MK – медіана (АК = KB) Тоді ∆AMB — рівнобедрений. ∠MAB = ∠ABM = 5x. Розглянемо ∆АВС. ∠A + ∠B = 90°. 8x + 5x + 5x = 90; 18x = 90; х = 5. ∠CAM = 8 ∙ 5 = 40°, ∠MAB = 5 ∙ 5 = 25°. ∠B = 5 ∙ 5 = 25°, ∠A = ∠CAM + ∠MAB, ∠A = 40° + 25° = 65°. Відповідь: ∠A = 65°, ∠B = 25°.