Вправи 301 - 368 » 361

361. Бісектриси MA і KB трикутника MNK перетинаються в точці О, точки A, N, B i O лежать на одному колі. Знайдіть кут N. Нехай ∠ОКМ = ∠ОКА = х, ∠BMO = ∠OMK = y. Розглянемо ∆МОК. ∠ОМК + ∠МКО + ∠KОМ = 180°. ∠МОК = 180° – х – y = 180° – (х + у). ∠ВОА = ∠МОК = 180° – (х + у) (як вертикальні кути). Оскільки точки A, N, В, О лежать на одному колі, то ∠N = ∠ВОА = 180°. ∠N = 180° – (180° – (х + у)) = 180° – 180° + х + y = х + у. Розглянемо ∆MNK: ∠М – у + у = 2у, ∠К = х + х = 2х. ∠N + ∠М + ∠К = 180°, ∠N = 180° – 2х – 2у = 180° – 2(x + y), 180° – 2(х + у) = х + у, 180 = 2(х + у) + х + у, 180 = 3(х + у), х + у = 180° : 3 = 60°. Відповідь: ∠N = 60.