Вправи 301 - 368 » 311

311. Два кола мають єдину спільну точку M. Через точку M проведено дві прямі, які перетинають дані кола. Точки їхнього перетину з колами, відмінні від точки M, сполучено хордами. Доведіть, що ці хорди паралельні. Нехай O1 і O2 — центри заданих кіл. Тоді точка М лежить на прямій O1O2 (в іншому випадку, точка симетрична точці М відносно прямої O1O2 була би ще однією точкою даних кіл). Отже, пряма а, яка проходить через точку М і перпендикулярно до прямої O1O2 є спільною дотичною двох кіл. Можливі два випадки: дані кола знаходяться по одну сторону від спільної дотичної а, або по різні боки від прямої а. Оскільки кут між дотичною і хордою, яка проходить через точку дотику, дорівнює половині дуги, яка знаходиться всередині кута, тоді ∪MB i ∪MD, які знаходяться всередині ∠AME і ∠CMF; ∠АМЕ = ∠CMF (вертикальні). ∠АВМ = ∠CDM (опираються на рівні дуги), тому ∠АВМ = ∠CDM (внутрішні різносторонні при прямих AB ∥ CD, BD – січна) за ознакою паралельних прямих. Доведено.